分析 (1)推導(dǎo)出A′B⊥AB′,B′C′⊥A′B,由此能證明A′B⊥平面AB′C′.
(2)推導(dǎo)出B′C′∥DE,從而DE∥BC,由此能證明E為AB中點.
(3)以B為原點,BA為x軸,BC為y軸,BB′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出三棱錐D-AB′C′的體積.
解答 證明:(1)∵直三棱柱ABC-A′B′C中,∠ABC=90°,AB=BC=BB′=2,
∴A′B⊥AB′,AA′⊥BC,AB⊥BC,
∵AB∩AA′=A,∴BC⊥平面ABB′A′,
∵BC∥B′C′,∴B′C′⊥平面ABB′A′,
∵A′B?平面ABB′A′,∴B′C′⊥A′B,
∵AB′∩B′C′=B′,∴A′B⊥平面AB′C′.
(2)∵D為底棱AC的中點,
過B′C′以及點D的平面與AB交于點E,
∴B′C′與DE共面,
∵平面ABC∥平面A′B′C′,∴B′C′∥DE,
∵B′C′∥BC,∴DE∥BC,
∵D是AC的中點,∴E為AB中點.
解:(3)以B為原點,BA為x軸,BC為y軸,BB′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵AB=BC=BB′=2,D為底棱AC的中點,
∴D(1,1,0),A(2,0,0),B′(0,0,2),C′(0,2,2),
→AD=(-1,1,0),→AB′=(-2,0,2),→AC′=(-2,2,2),
設(shè)平面AB′C′的法向量→n=(x,y,z),
則{→AB′•→n=−2x+2z=0→AC′•→n=−2x+2y+2z,取x=1,得→n=(1,0,1),
∴點D到平面AB′C′的距離d=|→AD•→n||→n|=1√2=√22,
S△AB′C′=12×AB′×B′C′=12×√4+4×2=2√2,
∴三棱錐D-AB′C′的體積V=13×S△AB′C′×d=13×2√2×√22=23.
點評 本題考查線面垂直的證明,考查點為直線的中點的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | f(x)的圖象關(guān)于(π12,1)中心對稱 | B. | f(x)在(5π12,11π12)上單調(diào)遞減 | ||
C. | f(x)的圖象關(guān)于x=π3對稱 | D. | f(x)的最大值為3 |
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