14.已知橢圓C1,C2均為中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,離心率均為2222,其中C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),C2的左右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).
(Ⅰ)求橢圓C1,C2的方程;
(Ⅱ)若直線l與C1,C2相交于A,B,C,D四點(diǎn),如圖所示,試判斷|AC|和|BD|的大小,并說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)設(shè)橢圓C1的焦距為2c1,長(zhǎng)軸為2a1,短軸為2b1,設(shè)橢圓C2的焦距為2c2,長(zhǎng)軸為2a2,短軸為2b2,
利用已知條件,求出兩個(gè)橢圓的幾何量,得到橢圓的方程.
(Ⅱ)|AC|=|BD|,①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然有|AC|=|BD|.②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2,y2),點(diǎn)C坐標(biāo)為(x3,y3),點(diǎn)D坐標(biāo)為(x4,y4),聯(lián)立直線與橢圓方程,通過(guò)韋達(dá)定理線段的中點(diǎn)是否相同.證明即可.

解答 (本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C1的焦距為2c1,長(zhǎng)軸為2a1,短軸為2b1,設(shè)橢圓C2的焦距為2c2,長(zhǎng)軸為2a2,短軸為2b2,
依題意得{c1a1=22c1=1a12=b12+c12,{c2a2=22a2=2a22=b22+c22,
解得:{a1=2b1=1,{a2=2b2=2,
所以橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1,
所以橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1.….(4分)
(Ⅱ)|AC|=|BD|.….(5分)
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然有|AC|=|BD|.….(6分)
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+m,
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2,y2),
點(diǎn)C坐標(biāo)為(x3,y3),點(diǎn)D坐標(biāo)為(x4,y4),
將直線l的方程與橢圓C1方程聯(lián)立可得{y=kx+mx22+y2=1,.….(8分)
消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
所以有x1+x2=4km1+2k2,.….(9分)
將直線l的方程與橢圓C2方程聯(lián)立可得{y=kx+mx24+y22=1,
消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
所以有x1+x2=4km1+2k2,.….(11分)
所以有弦AD的中點(diǎn)與弦BC的中點(diǎn)重合,.….(13分)
所以有|AC|=|BD|.….(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用,橢圓方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

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