Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₁+a₄+a₇=-15，a₂a₄a₆=-45．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求{a_n}的前n項和S_n的最小值；
（3）設(shè)b_n=|a_n|求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出等差數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求出S_n=n²-12n，利用配方法能求出S_n取最小值．
（3）由2n-13≥0，得n≥$\frac{13}{2}$，n≤6時，T_n=-S_n；n≥7時，T_n=S_n-2S₆，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₁+a₄+a₇=-15，a₂a₄a₆=-45，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}+3d+{a}_{1}+6d=-15}\\{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+3d）（{a}_{1}+5d）=-45}\\{d＞0}\end{array}\right.$，
解得a₁=-11，d=2，
∴a_n=-11+（n-1）×2=2n-13．
（2）${S}_{n}=-11n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²-12n=（n-6）²-36，
∴n=6時，S_n取最小值-36．
（3）由2n-13≥0，得n≥$\frac{13}{2}$，a₆=-1，a₇=1，
∴n≤6時，T_n=-S_n=12n-n²；
n≥7時，T_n=S_n-2S₆=n²-2n-2（36-72）=n²-2n+72．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{12n-{n}^{2}，n≤6}\\{{n}^{2}-2n+72，n≥7}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和的最小值、各項絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．