分析 (1)求導數(shù),可得切線的斜率,即可求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)設g(x)=ex-lnx-2,則g′(x)=ex−1x,求出函數(shù)的最小值,即可證明:f(x)>lnx+2,在(0,+∞)上恒成立.
解答 解:(1)依題意,f'(x)=ex,故f'(1)=e,故所求切線方程為y-e=e(x-1),即y=ex.
(2)設g(x)=ex-lnx-2,則g′(x)=ex−1x,
設h(x)=ex−1x,則h′(x)=ex+1x2>0,所以函數(shù)h(x)=g′(x)=ex−1x在(0,+∞)上單調遞增.
因為g′(12)=e12−2<0,g′(1)=e−1>0,
所以函數(shù)g′(x)=ex−1x在(0,+∞)上有唯一零點x0,且x0∈(12,1).
因為g'(x0)=0時,所以ex0=1x0,即lnx0=-x0.
當x∈(0,x0)時,g'(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,g'(x)>0.
所以當x=x0時,g(x)取得最小值g(x0).
故g(x)≥g(x0)=ex0−lnx0−2=1x0+x0−2>0.
綜上可知,不等式f(x)>lnx+2在(0,+∞)上恒成立.
點評 本題考查導數(shù)知識的運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查不等式的證明,屬于中檔題.
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