分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)分離參數(shù)得:a>1+λx1+λx2從而可得lnx1x2<(1+λ)(x1−x2)x1+λx2恒成立;再令t=x1x2,t∈(0,1),從而可得不等式lnt<(1+λ)(t−1)t+λ在t∈(0,1)上恒成立,再令h(t)=lnt-(1+λ)(t−1)t+λ,從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問題為最值問題即可.
解答 解:(1)f′(x)=1x-a(x>0),
①當(dāng)a≤0時,f′(x)=1x-a≥0,即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞),
②當(dāng)a>0時,令f′(x)=1x-a=0,得x=1a,
當(dāng)0<x<1a時,f′(x)=1−axx>0,當(dāng)x>1a時,f′(x)=1−axx<0,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1a],單調(diào)減區(qū)間是[1a,+∞);
(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點分別為x1,x2,且x1<x2,
則x1,x2分別是方程lnx-ax=0的兩個根,
即lnx1=ax1,lnx2=ax2
所以原式等價于1+λ<ax1+λax2=a(x1+λx2),因為λ>0,0<x1<x2,
所以原式等價于a>1+λx1+λx2,又由lnx1=ax1,lnx2=ax2作差得,lnx1x2=a(x1-x2),即a=lnx1x2x1−x2,
所以原式等價于lnx1x2>1+λx1+x2,
因為0<x1<x2,原式恒成立,即ln x1x2<(1+λ)(x1−x2)x1+λx2恒成立,
令t=x1x2,t∈(0,1),
則不等式lnt<(1+λ)(t−1)t+λ在t∈(0,1)上恒成立.
令h(t)=lnt-(1+λ)(t−1)t+λ,
又h′(t)=1t-(1+λ)2(t+λ)2=(t−1)(t−λ2)t(t+λ)2,
當(dāng)λ2≥1時,可見t∈(0,1)時,h′(t)>0,
所以h(t)在t∈(0,1)上單調(diào)增,又h(1)=0,h(t)<0在t∈(0,1)恒成立,符合題意.
當(dāng)λ2<1時,可見t∈(0,λ2)時,h′(t)>0,t∈(λ2,1)時h′(t)<0,
所以h(t)在t∈(0,λ2)時單調(diào)增,在t∈(λ2,1)時單調(diào)減,又h(1)=0,
所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合題意,舍去.
綜上所述,若不等式e1+λ<x1•x2λ恒成立,只須λ2≥1,又λ>0,所以λ≥1.
點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論,轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用,屬于綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | f(0)+f(2)≤2f(1) | B. | f(0)+f(2)<2f(1) | C. | f(0)+f(2)≥2f(1) | D. | f(0)+f(2)>2f(1) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (π,0) | B. | (43π,0) | C. | (53π,0) | D. | (76π,0) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -1或−74 | B. | -1或74 | C. | 1或-74 | D. | 1或74 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (12,√32) | B. | (1,1) | C. | (15,25) | D. | (−12,−12) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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