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1.三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1與AC、AB所成角均為60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,則A1B與AC1所成角的正弦值為(  )
A.1B.13C.33D.63

分析 連結(jié)A1C,交AC1于點E,取BC的中點D,連結(jié)AD、DE,則∠AED(或其補角)就是異面直線A1B與AC1所成的角,由此能求出異面直線A1B與AC1所成角的余弦值.

解答 解:連結(jié)A1C,交AC1于點E,取BC的中點D,連結(jié)AD、DE,
∵四邊形AA1C1C是平行四邊形,∴E是A1C的中點
∵D是BC的中點,∴DE是△A1BC的中位線,可得DE=12A1B,
因此,∠AED(或其補角)就是異面直線A1B與AC1所成的角.
設(shè)AB=AC=AA1=2,
∵∠A1AB=60°,∴△A1AB是等邊三角形,可得A1B=2,
得DE=12A1B=1.
同理,等邊△A1AC中,中線AE=32A1A=3,
又∵∠BAC=90°,AB=AC=2,D為BC中點,
∴AD=12BC=12AB2+AC2=2,
由此可得△ADE中,cos∠AED=AE2+DE2AD22AEED=3+122×3×1=33
即異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為33
故選:C.

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意余弦定理的合理運用.

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