Question

19．求下列方程的解集
（1）2sin²x-4sinxcosx+4cos²x=1
（2）4cos²x-2sinxcosx-1=0
（3）cos²x-4sin2x=sin²x-2cos2x．

Answer 1

分析 利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解方程的解集即可．

解答 解：（1）2sin²x-4sinxcosx+4cos²x=1，
可得-4sinxcosx+2cos²x+1=0
-2sin2x+cos2x+2=0，
$\sqrt{5}$sin（2x-θ）=2．（tan$θ=\frac{1}{2}$）
sin（2x-θ）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
2x-arctan$\frac{1}{2}$=2kπ+arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或2x-arctan$\frac{1}{2}$=2kπ+π-arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．k∈Z．
解得方程的解集為：{x|x=kπ+$\frac{1}{2}$arctan$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或kπ+$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{1}{2}$arctan$\frac{1}{2}$，k∈Z}
（2）4cos²x-2sinxcosx-1=0，
可得2cos2x-sin2x+1=0，
$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$cos2x-$\frac{1}{\sqrt{5}}$sin2x）=-1，
即$\frac{2}{\sqrt{5}}$cos2x-$\frac{1}{\sqrt{5}}$sin2x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cos（2x+arctan$\frac{1}{2}$）=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$，
2x+arctan$\frac{1}{2}$=2kπ±arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$，k∈Z．
解得方程的解集為：{x|x=kπ$-\frac{1}{2}$arctan$\frac{1}{2}$±$\frac{1}{2}$arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$，k∈Z}．
（3）cos²x-4sin2x=sin²x-2cos2x．
可得-4sin2x=-3cos2x，
tan2x=$\frac{3}{4}$，
解得2x=kπ+arctan$\frac{3}{4}$．k∈Z．
方程的解集為：{x|x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{1}{2}$arctan$\frac{3}{4}$．k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，三角方程的解法，考查計(jì)算能力．