Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
17.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex,其中e是白然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…
(I)若函數(shù)φ(x)=f(x)-x+1x1求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)直線l為函數(shù)f(x)的圖象上一點A(x0,f(x0)處的切線,證明:在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直線l與曲線y=g(x)相切.

分析 (Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),確定導(dǎo)數(shù)恒大于0,從而可得求函數(shù)φ (x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)先求直線l為函數(shù)的圖象上一點A(x0,f (x0))處的切線方程,再設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于點(x1,ex1),進而可得lnx0=x0+1x01,再證明在區(qū)間(1,+∞)上x0存在且唯一即可.

解答 (Ⅰ)解:φ(x)=f(x)-x+1x1=lnx-x+1x1,φ′(x)=1x+2x12,
∵x>0且x≠1,∴φ'(x)>0,
∴函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1,+∞);
(Ⅱ)證明:∵f′(x)=1x,∴f′(x0)=1x0,
∴切線l的方程為y-lnx0=1x0(x-x0),
即y=1x0•x+lnx0-1,①
設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于點(x1,ex1),
∵g'(x)=ex,∴ex1=1x0,∴x1=-lnx0
∴直線l也為y-1x0=1x0(x+lnx0),
即y=1x0•x+lnx0x0+1x0,②
由①②得lnx0-1=lnx0x0+1x0
∴l(xiāng)nx0=x0+1x01
下證:在區(qū)間(1,+∞)上x0存在且唯一.
由(Ⅰ)可知,φ(x)=lnx-x+1x1在區(qū)間(1,+∞)上遞增.
又φ(e)=lne-e+1e1=2e1<0,φ(e2)=lne2-e2+1e21=e23e21>0,
結(jié)合零點存在性定理,說明方程φ(x)=0必在區(qū)間(e,e2)上有唯一的根,
這個根就是所求的唯一x0
故結(jié)論成立.

點評 本題以函數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,函數(shù)的單調(diào)性,考查曲線的切線,同時考查零點存在性定理,綜合性比較強.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知z1=x2++2i,z2=-3+4i(x∈R),則|z1+z2|的最小值是6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.記不等式x2+x-6<0的解集為集合A,函數(shù)f(x)=1log2x21定義域為B,則A∩B=( �。�
A.(0,12B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞)D.(0,12]∪[2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.(x+ax)(2x-1x5的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中含x2項為( �。�
A.0B.-80x2C.80x2D.160x2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.某校為調(diào)查2016屆學(xué)業(yè)水平考試的數(shù)學(xué)成績情況,隨機抽取2個班各50名同學(xué),得如下頻率分布表:
分數(shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
甲班頻數(shù)46101812
乙班頻數(shù)2618168
(Ⅰ)估計甲,乙兩班的數(shù)學(xué)平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(Ⅱ)數(shù)學(xué)成績[60,70)為“C等”,[70,90)為“B等”和[90,100]為“A等”,從兩個班成績?yōu)椤癆等”的同學(xué)中用分層抽樣的方法抽取5人,則甲乙兩個班各抽取多少人?
(Ⅲ)從第(Ⅱ)問的5人中隨機抽取2人,求這2人來自同一班級的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.如圖,C,D是以AB為直徑的圓上的兩點,AB=2AD=23,AC=BC,F(xiàn)是AB上的一點,且AF=13AB,將圓沿AB折起,使點C在平面ABD的正投影E在線段BD上,已知CE=2,平面EFMN分別交AC、DC于點M、N.
(1)求證:AD⊥平面BCE;
(2)求證:AD∥MN;
(3)求三棱錐A-CFD的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.已知兩條直線ax+y-2=0和3x+(a+2)y+1=0互相平行,則實數(shù)a等于( �。�
A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.為了對某課題進行研究,用分層抽樣的方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人中抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)如下表(單位:人).
高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)
A54x
B362
C72y
(1)求x,y;
(2)若從高校B,C抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這2人均來自高校C的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.已知函數(shù)fx={3+log2xx02x23xx0,則不等式f(x)≤5的解集為(  )
A.[-1,1]B.(-∞,-1]∪(0,1)C.[-1,4]D.(-∞,-1]∪[0,4]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
鍏� 闂�