分析 (Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),確定導(dǎo)數(shù)恒大于0,從而可得求函數(shù)φ (x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)先求直線l為函數(shù)的圖象上一點A(x0,f (x0))處的切線方程,再設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于點(x1,ex1),進而可得lnx0=x0+1x0−1,再證明在區(qū)間(1,+∞)上x0存在且唯一即可.
解答 (Ⅰ)解:φ(x)=f(x)-x+1x−1=lnx-x+1x−1,φ′(x)=1x+2(x−1)2,
∵x>0且x≠1,∴φ'(x)>0,
∴函數(shù)φ(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(1,+∞);
(Ⅱ)證明:∵f′(x)=1x,∴f′(x0)=1x0,
∴切線l的方程為y-lnx0=1x0(x-x0),
即y=1x0•x+lnx0-1,①
設(shè)直線l與曲線y=g(x)相切于點(x1,ex1),
∵g'(x)=ex,∴ex1=1x0,∴x1=-lnx0.
∴直線l也為y-1x0=1x0(x+lnx0),
即y=1x0•x+lnx0x0+1x0,②
由①②得lnx0-1=lnx0x0+1x0,
∴l(xiāng)nx0=x0+1x0−1.
下證:在區(qū)間(1,+∞)上x0存在且唯一.
由(Ⅰ)可知,φ(x)=lnx-x+1x−1在區(qū)間(1,+∞)上遞增.
又φ(e)=lne-e+1e−1=−2e−1<0,φ(e2)=lne2-e2+1e2−1=e2−3e2−1>0,
結(jié)合零點存在性定理,說明方程φ(x)=0必在區(qū)間(e,e2)上有唯一的根,
這個根就是所求的唯一x0.
故結(jié)論成立.
點評 本題以函數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,函數(shù)的單調(diào)性,考查曲線的切線,同時考查零點存在性定理,綜合性比較強.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (0,12) | B. | (2,+∞) | C. | (0,12)∪(2,+∞) | D. | (0,12]∪[2,+∞) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | -80x2 | C. | 80x2 | D. | 160x2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
分數(shù)段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
甲班頻數(shù) | 4 | 6 | 10 | 18 | 12 |
乙班頻數(shù) | 2 | 6 | 18 | 16 | 8 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1或-3 | B. | -1或3 | C. | 1或3 | D. | -1或-3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
高校 | 相關(guān)人數(shù) | 抽取人數(shù) |
A | 54 | x |
B | 36 | 2 |
C | 72 | y |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [-1,1] | B. | (-∞,-1]∪(0,1) | C. | [-1,4] | D. | (-∞,-1]∪[0,4] |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com