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5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S9=90,S15=240.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn
(2)設(shè){bn-(-1)nan}是等比數(shù)列,且b2=7,b5=71,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出;
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn-(-1)nan}的公比為q,可得212a2=3,515a5=81,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得:81=3q3,解得q.可得bn=(-1)n•2n+3n-1.對(duì)n分類(lèi)討論,利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵S9=90,S15=240.
9a1+9×82d=90,15a1+15×142d=240,
聯(lián)立解得a1=d=2.
∴an=2+2(n-1)=2n,
Sn=n2+2n2=n2+n.
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn-(-1)nan}的公比為q,
212a2=7-4=3,
515a5=71+10=81,
∴81=3q3,解得q=3.
∴bn-(-1)nan=bn-(-1)n•2n=3×3n-2=3n-1
∴bn=(-1)n•2n+3n-1
數(shù)列{3n-1}的前n項(xiàng)和=3n131=12(3n-1).
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=T2k=2[(2-1)+(4-3)+…+(n-(n-1))]+3n-1=2k+3n-1=n+12(3n-1).
數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=T2k-1=-2+2[(2-3)+(4-5)+…+(n-1-n)]+12(3n-1)
=-2-2(k-1)+12(3n-1)
=3n2n+32
∴Tn={n+123n1n=2k3n2n+32n=2k1,k∈N*

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式,考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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