Question

8．在△ABC中，BC邊上的高為$\frac{\sqrt{3}}{6}$BC，則$\frac{sinC}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinC}$的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意，$\frac{sinC}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{c}$+$\frac{c}$．利用△ABC中，BC邊上的高為$\frac{\sqrt{3}}{6}$BC，結(jié)合三角形的面積公式、余弦定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{sinC}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{c}$+$\frac{c}$．
∵$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}•a•\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
∴bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（b²+c²-2bccosA），
∴（$\frac{c}$）²-4sin（A+30°）•$\frac{c}$+1=0，
∴4sin（A+30°）=$\frac{c}$+$\frac{c}$，
∴$\frac{c}$+$\frac{c}$的最大值為4，
∴$\frac{sinC}{sinB}$+$\frac{sinB}{sinC}$的最大值為4．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理、三角形的面積公式、余弦定理等知識點(diǎn)，考查學(xué)生的計算能力，知識綜合性強(qiáng)．